Ahora nos toca hablar de la derivada.

En realidad la derivada no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a un punto de una función. (Recordemos que una recta tangente es la recta que corta en un punto a una función, mientras que una secante, es la recta que lo hace por dos puntos)

Es de destacar que podemos hallar en cada  punto de una función una única recta tangente cuando en ese punto se verifiquen los postulados de continuidad. Si un punto presenta dos pendientes posibles, decimos que ese punto es angular y no puede derivarse (o sea es "no derivable").

Ahora el problema es ¿como puede hallarse la ecuación de esa recta tangente ya que por un punto pasan infinitas rectas y lo que buscamos es sólo una?  La respuesta ha sido desarrollada progresivamente a medida que los matemáticos fueron perfeccionando sus herramientas para encontrar la solución a este pequeño dilema.

La primera aproximación la dio un matemático llamado Rolle quien se dio cuanta que si tomamos dos valores de una función que tengan la misma imagen, debemos encontrar dentro del intervalo (que tiene a los dos valores elegidos como extremos del intervalo) un valor de x, al que llama c, cuya tangente sea paralela al eje x, o sea, tenga pendiente nula. Es interesante destacar que ese valor siempre es el punto medio del segmento ab, por lo que se lo conoce como teorema del valor medio. (Aunque pueda sonar redundante, hay que destacar que el intervalo [a, b] debe ser continuo, no debe haber una asíntota de por medio).

La segunda aproximación la hizo Lagrange, quien tomó dos puntos cualesquiera (a los que también llamó a y b) e indicó que la recta secante que pasa por ellos debe ser paralela (tener la misma pendiente) que la recta tangente que pasa por un punto interior a ese intervalo. Como la pendiente es la derivada en ese valor, podemos expresar el teorema de Lagrange como:

Pero el intervalo aún es demasiado grande, así que la distancia entre a y b debe ser casi nula para poder hallar la ecuación de la recta tangente, es por eso que se necesita el proceso de límite para poder hallarla.

¿Cómo calcular la pendiente en ese punto? Nuevamente necesitamos recalcar que si bien una función puede ser continua en el punto que se analiza no implica que este punto sea derivable. Un punto debe tener solamente una sola pendiente para que la función sea derivable en ese punto.

En vez de llamarlos a y b, nos conviene expresar las coordenadas como x₁ y x₂. Siendo sus respectivas imágenes  f_(x1) y  f_(x2).

A medida que x₂  va tomando valores cada vez  más cercanos a x₁, lo mismo ocurre con f_(x2) que se va acercando a f_(x1). El proceso acerca a la recta secante, que pasa por ambos puntos, a la posición de la recta tangente. El proceso de acercamiento se estudia en base a límites y permite encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto determinado. 

La "separación" que hay entre las coordenadas en x poden ser calculadas "restándolas", o sea, sacando su diferencia. Es así que x₂ – x₁ = Δx   El Δ (delta) representa la diferencia entre ambas coordenadas x, y se lo denomina "diferencial", en este caso es el diferencial x. Del mismo modo,  la diferencia entre las segundas coordenadas serán llamadas Δf_(x), diferencial f_(x) (o simplemente Δy).

Como x₂ – x₁ = Δx, podemos despejar x₂ =  x₁ + Δx.  

Así que f_(x2) puede escribirse como: f_{(x + Δx)}.

Escribimos la definición de derivada como un límite donde Δx es cada vez más pequeña, tiende a cero.

Definición de derivada:

La diferencia entre Δ y d es el tamaño. "d" es muy pequeña y se la denomina diferencial. Para poder entender lo que es un diferencial miren al piso. Lo ven plano, pero sabemos que la superficie de la tierra es curva. ¿Por que el piso se ve plano? La respuesta es sencilla. Estamos viendo un diferencial de área, una parte muy chiquita (la derivada en ese punto) por lo que se ve "recto", "lineal", plano.