Un sistema de ecuaciones no es otra cosa que un conjunto de polinomios cuyas cuyas gráficas pueden o no cortarse en uno o más puntos cuyas coordenadas son las soluciones que buscamos. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca al conjunto de todas ellas con una llave.

En este apunte nos ocuparemos de los sistemas lineales, es decir que el mayor grado de los polinomios es uno, pero puede haber sistemas con polinomios de diversos grados.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que un sistema de ecuaciones puede presentar dos opciones que nos permitirán clasificarlos en compatibles o incompatibles, según se corten en algún punto o no se corten en absoluto.

Dentro del sistema compatible tenemos también dos opciones, que se corten en un solo punto, y lo llamaremos sistema compatible determinado (SCD) o que se corten en infinitos puntos, este sistema recibe el nombre de sistema compatible indeterminado (SCI).

Es interesante destacar que un sistema tiene únicamente estas dos opciones, si dos ecuaciones se cortan en más de un punto, se cortarán en todos sus puntos.... es uno o todos.

Para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas ir aquí

Sistema de ecuaciones con tres o más incógnitas

Método de Gauss

Para resolver un sistema con tres o más incógnitas utilizando este métodos transformamos un sistema de ecuaciones en una matriz donde cada una de las ecuaciones representa una fila. Es interesante destacar que así como podemos cambiar de lugar las ecuaciones podemos intercambiar las filas, pero no las columnas ya que estás representan a las variables utilizadas. La primera columna representa a x, la segunda a y y la tercera a z. Pongamos un ejemplo para ir explicando el método

Primero transformemos este sistema en una matriz. Los elementos de la primera ecuación irán en la primera fila, y el resultado se separará con una línea de puntos que formará la matriz ampliada.

Una vez que hemos armado la matriz, llamamos a la primera fila como f₁, la segunda fila con el nombre de f₂ y la tercera fila como f₃. Nuestro objetivo es sumar y restar las filas para que la primera columna, debajo del 1, (que es la intersección de la primera columna con la primera fila) quede todo ceros.

Fíjense que en este caso los elementos de la primera columna tienen igual signo, así que los restamos. En el caso de la fila 1 y fila 2, al uno lo multiplicamos por el dos (que es el número que aparece en la segunda fila) Como el 1 es neutro, en realidad no es necesario escribirlo, así que en vez de 1. f₂ se pone sólo f₂. Pero a f₁ si lo multiplicamos por el número que aparece en la fila dos. Así que al escribir f₂ – 2 f₁ estamos indicando la operación que nos permitirá reemplazar la fila 2 por un polinomio equivalente. O sea, los números son distintos, pero el resultado para x, y y z, siguen siendo igual. Lo mismo hacemos con la fila 3.

Si se fijan detenidamente en la segunda fila, podemos dividir cada uno de sus elementos por el número – 11, cada uno de los resultados es entero y la fila resultante nos queda más simple para trabajar. Es un método que podemos aplicar cada vez que la fila presente múltiplos de algún número.

Ahora nos dedicaremos a la segunda columna. La intersección entre la segunda columna y la segunda fila es el 1, debajo, también, todo debe ser cero. Operamos exactamente igual que antes. Como el 1 y el – 13 tienen distinto signo, nos conviene sumarlos y multiplicar por 13 a la fila 2. Es lo que indica: f₃ + 13 f₂. Resolviendo para cada uno de los elementos de las distintas columnas, reemplazaremos la fila 3, por otra equivalente.

Nos queda debajo de la diagonal principal un triángulo compuesto de ceros, los que permitirán escribir un sistema equivalente al que teníamos inicialmente pero que nos permite despejar secuencialmente a z, luego a y y finalmente a x. Como tenemos un valor para cada una de las tres variables, estamos frente a un sistema compatible determinado, SCD. Donde nuestro resultado es:

(x, y, z) = (1, 1, 1)

 Pongamos otro ejemplo para ver como obtenemos un SCI.

Nuevamente pongamos un ejemplo para entender de los que hablamos.

Vemos que algunas letras (variables) faltan en el sistema, es que están siendo multiplicadas por cero. Completemos, entonces, el sistema, escribiendo el cero delante de las variables que no están escritas para que resulte más fácil que la pasemos a una matriz.

Escribamos la matriz correspondiente y resolvamos lo aplicando el método de Gauss recién aprendido.

Como el sistema es compatible indeterminado, nos queda una expresión y no un resultado. En este caso reemplazamos las coordenadas por las expresiones obtenidas.

Así que:

Ahora hagamos un ejercicio de ejemplo con un sistema incompatible.

Otra vez algunas letras (variables) faltan en el sistema, ya que están multiplicadas por cero. Completemos, entonces, el sistema, escribiendo el cero delante de las variables que no están escritas para que resulte más fácil que la pasemos a una matriz.

Continuaré escribiendo