Aprender y enseñar matemática no es fácil. Lo sabe el frustrado alumno que se enfrenta, calculadora en mano, al despiadado ejercicio que no le sale; y lo sabe el profesor, cuya frustración crece exponencialmente, al ver que su alumno se estrella una y otra vez, con la misma dificultad sin poder superarla.

Este es una problemática que no reconoce países, idiomas o fronteras...

¿Cómo superarlo?

Pregunta que no tendrá respuesta si de tu parte no hay dedición de trabajar. Soy profesora y no hago milagros. Si mentalmente te predispones a no entender, has perdido la pelea antes de comenzar.

Es un largo camino el que se debe transitar, parecido a una escalera ascendente, en la que no podemos saltar ningún escalón.

No hay recetas mágicas, sino mucho trabajo.

¿Cómo analizar y graficar una función Polinómica?

Autor: Silvia Sokolovsky

Un polinomio es una función, donde el dominio depende de la cantidad de variables a los que esté sometido. En este caso analizaremos polinomios que dependen de una sola variable, x, por lo tanto el dominio son los R (reales).

Por ser función a cada valor de x le corresponde un solo valor de y  o (como estamos hablando de polinomios) P_(x).

El análisis y la gráfica son parecidos a los que hemos hecho con la parábola, así que comencemos por hallar los ceros o raíces de la función así podemos factorizar el polinomio.

El grado del polinomio nos indica la máxima cantidad de ceros que podemos hallar. En un binomio (dos términos) de grado 1, hallamos una sola raíz. En un polinomio de grado 2, podemos hallar hasta dos raíces, en uno de grado tres podemos encontrar hasta tres raíces...

Un matemático llamado Bolzano se dio cuenta que si las imágenes de dos valores distintos (y cercanos) de x tenían distintos signos, necesariamente debía haber un cero en el intervalo que los tenía a ellos (los valores de x) por extremos.

Lo interesante es que entre dos ceros consecutivos sólo hallamos un signo para todas las imágenes. Todas serán positivas o negativas.

Esta característica nos ahorra mucho trabajo ya nos permite saber si la gráfica del polinomio tendrá "panza para arriba" en el caso de imágenes positivas, o panza para abajo si son negativas. Lo único que tenemos que hacer es tomar un valor de x que pertenezca a ese intervalo y hallar el signo de la imagen.

Al igual que la parábola, aquí tenemos conjunto de positividad y de negatividad.

Nada mejor que un ejemplo para entender lo que hemos explicado...

Tomemos un polinomio de tercer grado,  y usando la técnica de Gauss, factoricémoslo. Así podremos analizar fácilmente al polinomio.

Tenemos los ceros de la función C^o = {– 2, 1, 5} coloquémoslos en un cuadro (justo aquí abajo). Para facilitar la comprensión, pinté de amarillo el cuadro de los ceros. Cada cero "divide" el dominio en intervalos los que he colocado en orden creciente (de menor a mayor) en el cuadro, el que tiene tres líneas punteadas, una para cada binomio de la ecuación factorial.  

Ahora tomemos un número en cada intervalo para verificar el signo de la imagen en cada caso. En el primer intervalo que va desde el infinito de los negativos hasta menos dos, podemos tomar menos tres y calcular el signo de la imagen para cada binomio.

Tenemos tres signos negativos, por la regla de los signos, el producto de los tres será negativo.

Coloquemos los signos en la columna correspondiente.

Podemos ver que el intervalo (– ∞, – 2) está incluido dentro de C^–.

Ahora hagamos lo mismo en el intervalo siguiente para ver el signo que queda al final.

Vemos que el intervalo ( – 2, 1) está incluido dentro de C⁺.

Vemos que el intervalo (1, 5) está incluido dentro de C^–.

Podemos indicar los intervalos de positividad y negatividad que hemos encontrado y además podemos hacer el gráfico aproximado de este polinomio siguiendo lo que nos indica la tabla. En el caso de los intervalos cuyo extremo es infinito, los dibujamos abiertos, sin cerrar "la panza", mientras que los intervalos entre ceros hacemos "pancita para arriba" en los de positividad y "pancita para abajo" en los de negatividad.... (pueden reírse a gusto con mis metáforas matemáticas...)

Ejercitación