Escribamos todos los pares que satisfagan la relación " y < x ".

R = {(2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2); (7, 2); (4, 3); (5, 3); (6, 3); (7, 3); (5, 4); (6, 4); (7, 4); (6, 5); (7, 5); (7, 6)}

Si representamos los pares en un par de ejes cartesianos, veremos claramente que “1” no pertenece al dominio y “7 ” no es imagen de ningún número.

Dominio: {2, 3, 4, 5, 6, 7} 

Imagen:   {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al caso, donde a cada elemento del dominio le corresponda una y solo una imagen, lo llamaremos función, f _(x) (f de x) se designa (reemplazando en la ecuación a y ).

Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los mismos valores que tiene "x". También puede escribirse f _(x) = x (que quiere decir exactamente lo mismo). En funciones escribir "y" ó "f _(x)" es lo mismo.

Otra aclaración: desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.

Uno de los graves errores de nuestra educación al enseñar matemática es separar la aritmética de la geometría, como si fueran dos cosas totalmente distintas. Este error es, además, ofensivo para todas aquellas personas que durante cientos de años trataron (y con éxito) de reunir ambas disciplinas bajo un mismo techo, dándoles forma  y orden.

La geometría trabaja con conceptos primitivos, punto, recta, plano y espacio. El punto puede equipararse con un número real y la recta con el conjunto de los números reales. Toda relación geométrica puede expresarse mediante la misma simbología que utilizamos para indicar las relaciones entre los números. Algunas operaciones aritméticas deben su nombre a la geometría. Veamos un ejemplo.

Dibujemos un rectángulo cuyo vértice coincida con el centro de coordenadas de un eje cartesiano. La base, que estará sobre el eje x, lo llamaremos "x", mientras que la altura podemos llamarla "m", la que en este caso es tiene un valor arbitrario 4.

"m" es una magnitud constante, por lo tanto, una vez que le has dado su valor, siempre tendrá el mismo. En cuanto a "x", puede tener cualquier longitud.

Entonces, los valores de la superficie cambian a medida que cambia el valor de "x". El valor de la superficie está dada en función de x.

De aquí en adelante estudiaremos las funciones en base al área que determina la gráfica de la función y los ejes.

Vimos que en una relación cualquiera una elemento del dominio (x) podía tener más de una imagen (y). La función es una relación donde cada  elemento del dominio puede tener una y sólo una imagen (unicidad) además de tener a  todos los elementos del conjunto de partida dentro del dominio (completitud).

Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los mismos valores que tiene "x". También puede escribirse  f_(x) = x , que quiere decir exactamente lo mismo.        

“En funciones escribir "y" ó "f_(x)" es lo mismo.”

Otra aclaración, desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.

(Ver la explicación en video: Funciones)

Ahora debemos clasificarlas.

Funciones:

Inyectiva: es aquella donde cada elemento del dominio tiene diferente imagen

Sobreyectiva: es aquella donde cada  elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio. Es decir conjunto de llegada e imagen son iguales)

Biyectiva: es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

La función biyectiva admite inversa.

La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y viceversa), despejamos y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) sobre y ó f_(x) un –1.

Ejemplo: Sea f_(x) = 5.x + 2, para hallar la inversa cambiamos x por f_(x) , y viceversa:

x = 5 f_(x)^-1 + 2 , despejamos  f_(x)^-1

  (es la inversa)

Función Potencial: En este tipo de función las x están elevadas a una potencia representada por un número real "a". Según los valores que tenga "a" obtendremos gráficas tan dispares como la ecuación lineal (a = 1) o la cuadrática (a = 2); m representa a un número real cualquiera.

Función Exponencial: aquí x trabaja como exponente (se analiza este tipo de función en logaritmos)

Función Logarítmica: la inversa de la función exponencial (se analiza este tipo de función en logaritmos)

Función Trigonométrica: Aquí x trabaja como argumento (ángulo) de las funciones seno, coseno, tangente, etc. (se analiza este tipo de función en Trigonometría).

Comencemos por la función más simple entre las potenciales:

Función constante: es aquella donde cada valor del codominio, no importa el valor de x, siempre será el mismo (único  valor) ya que a = 0.

Como todo número elevado a cero da uno, en este caso, la función exponencial 

  f_(x) = m . x⁰ queda f_(x) = m . 1 Þ f_(x) = m,

donde m es un número cualquiera, por ejemplo 3.

f_(x) = 3

¿Cuál es el dominio? Todos los reales.

¿Y la imagen? Solamente un valor, 3.

Antes de comenzar a leer puedes ver este video... aquí (la recta es una proporción directa)

La Función lineal: tiene varias formas de escribirse. para verlas observa el video en este link.

Ahora analicemos la expresión implícita cuya ecuación es: f_(x) = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" (que ya lo conocemos) se denomina pendiente.

Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal

Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x₁; y₁); al otro lo llamaremos (x_o; y_o). Completemos según las coordenadas que elegidas:

x_o = 1,      y_o = 4,       x₁ = 7,      y₁ = 6

Marquemos el ángulo que forma la recta con el eje x.

Tomando al ángulo de guía (α) sobre la gráfica velos que el cateto adyacente mide 5 y que es el opuesto mide 2.

¿Qué operación matemática realizamos para calcularlos?, hemos restado. La resta (diferencia) se representa por el símbolo D; de allí que al restar x obtuvimos Δx (se lee diferencial x). Al restar Y obtendremos Δy ( diferencial y ). Así el cateto adyacente. y el cateto opuesto están representados por Δx y por Δy respectivamente.

¿Qué función trigonométrica relaciona Δx y Δy con el ángulo del triángulo?, la tangente.

En este caso ¿Qué valor tiene ?

Es importante notar que entre dos puntos cuales quiera que pertenezcan a la recta, puede trazarse un triángulo rectángulo, de manera que, la razón de sus catetos sea ¹/₃, el valor de la pendiente.

Para poder calcular la ecuación de esta recta sólo nos falta saber el valor de la ordenada al origen "b" .

(Ver la explicación en video)

La ecuación de la recta es: y = m x + b

Elijamos uno de los puntos de la recta, (1, 4) y suplantemos " x e y " con ellos en la ecuación: 4 = m. 1 + b

Hagamos lo mismo con el valor de "m" (la pendiente):

Despejemos b para hallar su valor:

De esa manera la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y (7, 6) es:

Volviendo al triángulo que quedó formado en el gráfico:

Aún queda, sin saber su medida, la hipotenusa del triángulo; ese lado coincide con la distancia entre los dos puntos marcados. El teorema de Pitágoras nos permite conocer esa medida.

Distancia entre dos puntos:  D² = Δx² + Δy²

(Ejercicios explicados de distancia entre dos puntos)

Graficar una recta (sin tabla)

Para graficar una recta se deben tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen.

Grafiquemos la recta:  

y = 3 x + 1

La ordenada al origen es (0, 1), el o primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.

Ejercicios

Ejercicios explicados en videos

Video; ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Continúa en función cuadrática.