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Movimiento

Autora: Silvia Sokolovsky


Introducción:

" Imaginemos una novela de misterio perfecta. Este tipo de relato presenta todos los datos y pistas esenciales y nos impulsa a descifrar el misterio por nuestra cuenta", así comienza Albert Einstein su libro La evolución de la física, y resulta válido para introducirnos en el tema. Si bien tu interés se halla muy alejado del que impulsaba al genio del siglo XX, para poder resolver el misterio que se encierra dentro de los problemas tendrás que hacer de detective para encontrar los datos disponibles, hacerlos comprensibles y coherentes por medio del razonamiento. Lo cual a simple vista no resulta tan fácil.

Primeramente, nos introduciremos en el problema del movimiento, sus causas y efectos.

" Nuestro concepto intuitivo del movimiento lo vincula a los actos de empujar, levantar, arrastrar... ...Parece natural inferir (deducir) que, cuanto mayor sea la acción ejercida sobre un cuerpo, tanto mayor será su velocidad ... (imagina empujar un auto, si lo empujan dos personas irá más rápido que si la empuja una) ...El método de razonar dictado por la intuición resultó erróneo y condujo a ideas falsas respecto al movimiento de los cuerpos ".

Supongamos que deseamos patinar sobre el piso, evidentemente recorreremos cierta distancia y después nos detendremos. Si queremos ir más lejos deberemos engrasar o aceitar los ejes de las ruedas de nuestros patines y alisar lo más posible el camino. ¿Qué estamos haciendo realmente? Estamos reduciendo el roce con el piso, la fricción.

Teóricamente si imaginamos un camino perfectamente plano y unos patines con ruedas sin ningún roce, no existiría causa alguna que se opusiera a nuestro movimiento, sería eterno.

Vemos claramente que si no se empuja o arrastra un cuerpo, o sea se le aplica una fuerza externa, este se mueve uniformemente, es decir, con velocidad constante y en línea recta.

"A esta conclusión se ha llegado imaginando un experimento ideal que jamás podrá verificarse, ya que es imposible eliminar toda influencia externa" Einstein era principalmente un físico teórico, pues se imaginaba las experiencias y aplicando leyes físicas conocidas y elementos matemáticos intentaba resolver los problemas que él mismo se planteaba. En tu caso, los problemas serán propuestos por el profesor, pero si a Einstein le sirvió su "técnica", ¿ Por qué no a ti ? ...

En palabras de Einstein: "Todos los movimientos que se observan en la naturaleza - por ejemplo, la caída de una piedra en el aire, un barco surcando el mar, un auto avanzando por la calle - son en realidad muy intrincados (difíciles de comprender). Para entender estos fenómenos es prudente empezar con los ejemplos más simples y pasar gradualmente a los casos más complicados" . Hagámosle caso.

Movimiento :

¿Cómo nos damos cuenta que nos estamos moviendo?.

No toques el mouse (ratón) de tu computadora mientras observas el segundero de tu reloj. A medida que pasa el tiempo el mouse no cambia de posición, pero el segundero si. El mouse está quieto y el segundero está en movimiento. Sencillamente, nos damos cuenta que "algo" se mueve al ver como cambia su posición a medida que transcurre el tiempo.

El movimiento es el cambio de la posición en función del tiempo.

Supongamos que tenemos un cronómetro para medir "ese tiempo", a cada instante podemos designarlo con una letra, usualmente suele utilizarse la letra t. El instante en que comenzamos a medir es el instante cero, así que podemos designarlo como to (te sub-cero); y asimismo se puede indicar en el subíndice el instante en el que móvil se encuentra. Por ejemplo: si transcurren 5 segundo podemos indicarlo como t5.

Si tomamos dos instantes cualesquiera, la diferencia entre ambos nos indicará el tiempo transcurrido entre ambos instantes:

Δt = t - ti (el subíndice i indica que es el instante inicial del intervalo).

Este símbolo Δ (diferencial) es un elemento matemático que se utiliza para indicar la resta, "diferencia" entre dos valores de una variable y está representado por la letra griega mayúscula delta.

Si el movimiento es horizontal podemos considerar al piso como si fuera el eje de las abscisas (eje x), de esa manera cada posición se designará con la letra x. La posición correspondiente al instante cero (to) se designa, entonces, como xo, mientras que la posición correspondiente a t la denominaremos x De manera similar a lo que hicimos con el tiempo, la diferencia entre dos posiciones cualesquiera nos permite calcular el desplazamiento lineal que hemos hecho existente entre ellas: Δx = x – xi

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

El movimiento más sencillo es el movimiento en línea recta (lógicamente denominado rectilíneo) Como todo movimiento puede describirse por el espacio que se recorre en unidad de tiempo, supongamos que recorremos siempre la misma cantidad de espacio por cada unidad de tiempo. Imaginemos que por cada segundo recorremos dos metros. En el primer segundo recorremos dos metros, al segundo habremos hecho cuatro, al tercero seis y así sucesivamente...

Para facilitar aún más nuestro estudio imaginemos que partimos de la posición cero en el instante cero. Ubiquemos nuestra suposición en una tabla:

Instante (t)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Posición (x)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

El espacio y el tiempo matemáticamente son directamente proporcionales, eso implica que si dividimos cada posición por el instante en que se encuentra nos dará un valor constante.

Físicamente ese valor constante, la razón entre el espacio recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina velocidad.

Así que la velocidad en este tipo de movimiento es constante, como se ve en el gráfico de velocidad en función del tiempo (v(t)) donde está representada la velocidad. Si llevamos a un gráfico la posición a cada instante que está indicada en la tabla, veremos que encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro podemos darnos cuenta de que la posición a cada instante se puede calcular multiplicando ese instante (t) por la velocidad (v), de esa manera tenemos que:

 x = v . Dt

No tiene por que partirse de cero, así que las distintas posiciones pueden determinarse sumando la posición de donde partimos, posición inicial (xo), y lo que se avanza (Δt. v).

Supongamos que partimos de la posición 2, la xo = 2 m, como la velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posición anterior:

Instante (t)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Posición (x)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la posición inicial (2): matemáticamente la ecuación obtenida es: x = 2Dt + 2. (utilizo las variables indicadas en el gráfico).

De esa manera la ecuación del espacio en función del tiempo que a partir de ahora la llamaremos ecuación horaria, la escribiremos: x = xo + v . Δt

Magnitudes vectoriales y escalares: Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: escalares y vectoriales.

Supongamos que estamos mirando los coches que transitan por una avenida recta, todos los autos tendrán la misma dirección (la calle) pero no tienen que ir hacia un mismo lado, pueden poseer distinto sentido. Es importante en un movimiento indicar la dirección (recta a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemática existe un elemento que indica sentido y dirección además del módulo (cantidad de velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser representada por un vector la llamaremos "magnitud vectorial".

Lo que nos indica la lógica es utilizar el vector para indicar la velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su módulo señala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica encerrando al vector entre dos líneas: |v|. El módulo siempre es un valor positivo.

Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de las que sólo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo típico:

Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento:

Estuvimos hablando de posiciones (x), espacio (Δx) y, aunque no lo nombramos, de desplazamiento. Pero estas tres palabras tienen distinto significado en física. Supongamos que te encuentras en una esquina, ésa será tu posición inicial y para facilitar las cosas desde allí empezaremos a contar por lo que xo = 0 m. Ahora caminas dos cuadras sobre la misma manzana. El espacio recorrido será de 200 m, ya que cada cuadra tiene 100 m, pero el desplazamiento, la línea recta que une ambas posiciones, si aplicamos Pitágoras (ver figura) será de 141,42 m. Es más, si das la vuelta manzana, el espacio recorrido ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo.

El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una magnitud escalar, sólo un número.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V)

Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleración.

Aceleración:

El movimiento anterior es un movimiento poco frecuente en la vida real. Cuando caminamos, corremos o saltamos la velocidad no permanece constante, sino cambia. Pero para no complicarnos demasiado, así que imaginemos que la velocidad cambia de manera uniforme, dos unidades a la vez, a medida que el cronómetro imaginario en nuestras manos va marcando el tiempo.

Nuevamente hagamos un cuadro para poner nuestros valores:

Instante (t)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Velocidad (v)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

La relación (directamente proporcional, matemáticamente hablando) se mantiene al dividir la velocidad por el tiempo, en cada caso nos da 2.

Pero hay un problema en el primer casillero. No podemos hacer la operación ya que matemáticamente es imposible dividir entre sí a cero. Nos encontramos frente a un problema, este casillero nos indica que la relación que buscamos no puede estar entre la velocidad que nos marca el velocímetro del auto, por ejemplo, y el instante en que nos marca el reloj o el cronómetro. (Con que una cuenta no se pueda realizar basta para que la relación no se pueda dar).

Pero notamos que la velocidad y el tiempo están evidentemente relacionados... debemos hacerlo de otra manera. Veamos que sucede si  tomamos dos intervalos distintos y vemos la variación de cada uno de ellos ¿se mantendrá esa relación?

Tomemos el instante 2, ti = 2, la velocidad correspondiente es 4, v = 4

Tomemos el instante 7, t = 7, la velocidad correspondiente es 14, v = 14

Calculemos la variación de Δv = 14 – 4 = 10

                                         Δt = 7 – 2 = 5

Al dividir la variación de velocidad Δv por la variación del tiempo Δt el resultado, la razón nos da 2.

Ahora toma diferentes intervalos y vuelve a repetir la operación pare verificar que siempre te da dos.

Justamente la relación directamente proporcional que hay entre la variación de la velocidad y el tiempo es algo físico, y la denominamos aceleración.

Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector

Unidades de la aceleración: Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades.

Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.

También puede expresarse como .

Obtención de la función Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.

En el M.R.U.V. la velocidad varía pero no de cualquier manera, depende de la aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendrá siempre el mismo valor.

Supongamos que la aceleración es de 2 m/s2 cuando partimos de la posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s

Recordemos: xo = 1 m y vo = 1 m/s.

Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.

Primer Intervalo [0, 1]     

Segundo Intervalo [1, 2]  

Tercero Intervalo [2, 3]   

Área = base. Altura

En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura. Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura Þ base = a ; altura = Dt Área  = a. Δt

La aceleración determina como varía la velocidad y el área debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo:

Área = v; de esta manera tenemos: v = a . Δt

No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula

Þ v = vo + a. Δt (Ecuación 1)

(Esta ecuación nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.)

Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuación 1.

a

Δt

a Δt

a Δt + vo

v

2

0

2 . 0 = 0

2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1

1

2

1

2 . 1 = 2

2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3

3

2

2

2 . 2 = 4

2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5

5

2

3

2 . 3 = 6

2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7

7

Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por (t; vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en función del tiempo nos da una recta.

Siempre que una variable dependa de una constante dará una recta en su gráfica.

Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.

Nuevamente Δt será la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La vo (velocidad inicial) será la base menor mientras que vt (velocidad instantánea) será la base mayor.

Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración. así el área debajo de la gráfica de vt indica la posición del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posición 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:

v

vo

v + vo

(v + vo):2

Δt

[(v + vo) : 2] . Δt

[(v + vo) : 2] . Δt + xo

xt

1

1

1 + 1 = 2

2 : 2 = 1

0

1 . 0 = 0

0 + 1 =

1

3

1

1 + 3 = 4

4 : 2 = 2

1

2 . 1 = 2

2 + 1 =

3

5

1

1 + 5 = 6

6 : 2 = 3

2

3 . 2 = 6

6 + 1 =

7

7

1

1 + 7 = 8

8 : 2 = 4

3

4 . 3 = 12

12 + 1 =

13

Tomemos los puntos (Δt, x) (columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola.

Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como gráfica.

(no es la ecuación que comúnmente se utiliza para hallar xt, reemplacemos vt por la ecuación 1), tendremos así:

    (operando matemáticamente)

Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más frecuentemente utilizada para hallar xt. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas: 2. Δx. a = v 2 – vo 2 (Ecuación 3)

Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.

Continúa en Caída libre (además, se explica como se realiza un ejercicio)

Anexo:

Obtención de la ecuaciones mediante integrales:

La aceleración es un vector que depende de la variación de la velocidad en función del tiempo. Si el intervalo de tiempo tiende a cero podemos hallar a la aceleración instantánea, para ello apliquemos el concepto de derivada.

Para hallar la ecuación de la velocidad en función del tiempo debemos aplicar integrales definidas, el límite de la integración será: t y to para el tiempo, v y vo para la velocidad.

v = a (t – to) + vo(1)

La velocidad es otro vector que depende de la variación del espacio en función del tiempo. Cuando el intervalo tiende a cero obtenemos la velocidad instantánea.

Para hallar la ecuación del espacio en función del tiempo, llamada ecuación horaria, debemos aplicar nuevamente integrales definidas. El límite de la integración será: t y to para el tiempo,x y xo para las distintas posiciones.

Reemplacemos v por la ecuación (1), donde para facilitar la operación matemática supondremos que to = 0.

(Ecuación horaria)

Octubre 2002


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